有限数学示例

$\frac{4 \sin (A) \cdot \cos (A) \cdot \cos (2 A) \cdot \sin (15)}{\sin (2 A) (\tan (225) - 2 \sin^{2} (A))}$

解题步骤 1

将 $\frac{4 \sin (A) \cdot \cos (A) \cdot \cos (2 A) \cdot \sin (15)}{\sin (2 A) (\tan (225) - 2 \sin^{2} (A))}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\sin (2 A) (\tan (225) - 2 \sin^{2} (A)) = 0$

解题步骤 2

求解 $A$ 。

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解题步骤 2.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\sin (2 A) = 0$

$\tan (225) - 2 \sin^{2} (A) = 0$

解题步骤 2.2

将 $\sin (2 A)$ 设为等于 $0$ 并求解 $A$ 。

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解题步骤 2.2.1

将 $\sin (2 A)$ 设为等于 $0$ 。

$\sin (2 A) = 0$

解题步骤 2.2.2

求解 $A$ 的 $\sin (2 A) = 0$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $A$ 。

$2 A = \arcsin (0)$

解题步骤 2.2.2.2

化简右边。

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解题步骤 2.2.2.2.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$2 A = 0$

解题步骤 2.2.2.3

将 $2 A = 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.2.2.3.1

将 $2 A = 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 A}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 2.2.2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.2.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 A}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 2.2.2.3.2.1.2

用 $A$ 除以 $1$ 。

$A = \frac{0}{2}$

解题步骤 2.2.2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.2.3.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$A = 0$

解题步骤 2.2.2.4

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $180$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$2 A = 180 - 0$

解题步骤 2.2.2.5

求解 $A$ 。

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解题步骤 2.2.2.5.1

化简。

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解题步骤 2.2.2.5.1.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$2 A = 180 + 0$

解题步骤 2.2.2.5.1.2

将 $180$ 和 $0$ 相加。

$2 A = 180$

解题步骤 2.2.2.5.2

将 $2 A = 180$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.2.2.5.2.1

将 $2 A = 180$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 A}{2} = \frac{180}{2}$

解题步骤 2.2.2.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.2.5.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 A}{2} = \frac{180}{2}$

解题步骤 2.2.2.5.2.2.1.2

用 $A$ 除以 $1$ 。

$A = \frac{180}{2}$

解题步骤 2.2.2.5.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.2.5.2.3.1

用 $180$ 除以 $2$ 。

$A = 90$

解题步骤 2.2.2.6

求 $\sin (2 A)$ 的周期。

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解题步骤 2.2.2.6.1

函数的周期可利用 $\frac{360}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{360}{| b |}$

解题步骤 2.2.2.6.2

使用周期公式中的 $2$ 替换 $b$ 。

$\frac{360}{| 2 |}$

解题步骤 2.2.2.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$\frac{360}{2}$

解题步骤 2.2.2.6.4

用 $360$ 除以 $2$ 。

$180$

解题步骤 2.2.2.7

$\sin (2 A)$ 函数的周期为 $180$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $180$ 度数重复出现。

$A = 180 n, 90 + 180 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.3

将 $\tan (225) - 2 \sin^{2} (A)$ 设为等于 $0$ 并求解 $A$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $\tan (225) - 2 \sin^{2} (A)$ 设为等于 $0$ 。

$\tan (225) - 2 \sin^{2} (A) = 0$

解题步骤 2.3.2

求解 $A$ 的 $\tan (225) - 2 \sin^{2} (A) = 0$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.2.1.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\tan (45) - 2 \sin^{2} (A) = 0$

解题步骤 2.3.2.1.1.2

$\tan (45)$ 的准确值为 $1$ 。

$1 - 2 \sin^{2} (A) = 0$

解题步骤 2.3.2.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- 2 \sin^{2} (A) = - 1$

解题步骤 2.3.2.3

将 $- 2 \sin^{2} (A) = - 1$ 中的每一项除以 $- 2$ 并化简。

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解题步骤 2.3.2.3.1

将 $- 2 \sin^{2} (A) = - 1$ 中的每一项都除以 $- 2$ 。

$\frac{- 2 \sin^{2} (A)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

解题步骤 2.3.2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.3.2.1

约去 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 2 \sin^{2} (A)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

解题步骤 2.3.2.3.2.1.2

用 $\sin^{2} (A)$ 除以 $1$ 。

$\sin^{2} (A) = \frac{- 1}{- 2}$

解题步骤 2.3.2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.2.3.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\sin^{2} (A) = \frac{1}{2}$

解题步骤 2.3.2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (A) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2.3.2.5

化简 $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.3.2.5.1

将 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 2.3.2.5.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\sin (A) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

解题步骤 2.3.2.5.3

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sin (A) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 2.3.2.5.4

合并和化简分母。

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解题步骤 2.3.2.5.4.1

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 2.3.2.5.4.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

解题步骤 2.3.2.5.4.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

解题步骤 2.3.2.5.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 2.3.2.5.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 2.3.2.5.4.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 2.3.2.5.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.3.2.5.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.3.2.5.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.3.2.5.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.5.4.6.4.1

约去公因数。

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.3.2.5.4.6.4.2

重写表达式。

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

解题步骤 2.3.2.5.4.6.5

计算指数。

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 2.3.2.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.3.2.6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\sin (A) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 2.3.2.6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\sin (A) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 2.3.2.6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\sin (A) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 2.3.2.7

建立每一个解以求解 $A$ 。

$\sin (A) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (A) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 2.3.2.8

在 $\sin (A) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 中求解 $A$ 。

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解题步骤 2.3.2.8.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $A$ 。

$A = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 2.3.2.8.2

化简右边。

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解题步骤 2.3.2.8.2.1

$\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ 的准确值为 $45$ 。

$A = 45$

解题步骤 2.3.2.8.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $180$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$A = 180 - 45$

解题步骤 2.3.2.8.4

从 $180$ 中减去 $45$ 。

$A = 135$

解题步骤 2.3.2.8.5

求 $\sin (A)$ 的周期。

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解题步骤 2.3.2.8.5.1

函数的周期可利用 $\frac{360}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{360}{| b |}$

解题步骤 2.3.2.8.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{360}{| 1 |}$

解题步骤 2.3.2.8.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{360}{1}$

解题步骤 2.3.2.8.5.4

用 $360$ 除以 $1$ 。

$360$

解题步骤 2.3.2.8.6

$\sin (A)$ 函数的周期为 $360$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $360$ 度数重复出现。

$A = 45 + 360 n, 135 + 360 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.3.2.9

在 $\sin (A) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ 中求解 $A$ 。

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解题步骤 2.3.2.9.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $A$ 。

$A = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 2.3.2.9.2

化简右边。

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解题步骤 2.3.2.9.2.1

$\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ 的准确值为 $- 45$ 。

$A = - 45$

解题步骤 2.3.2.9.3

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $360$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $180$ 相加以求第三象限中的解。

$A = 360 + 45 + 180$

解题步骤 2.3.2.9.4

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 2.3.2.9.4.1

从 $360 + 45 + 180 °$ 中减去 $360 °$ 。

$A = 360 + 45 + 180 ° - 360 °$

解题步骤 2.3.2.9.4.2

得出的角 $225 °$ 是正角度，比 $360 °$ 小，且与 $360 + 45 + 180$ 共边。

$A = 225 °$

解题步骤 2.3.2.9.5

求 $\sin (A)$ 的周期。

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解题步骤 2.3.2.9.5.1

函数的周期可利用 $\frac{360}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{360}{| b |}$

解题步骤 2.3.2.9.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{360}{| 1 |}$

解题步骤 2.3.2.9.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{360}{1}$

解题步骤 2.3.2.9.5.4

用 $360$ 除以 $1$ 。

$360$

解题步骤 2.3.2.9.6

将 $360$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 2.3.2.9.6.1

将 $360$ 加到 $- 45$ 以求正角。

$- 45 + 360$

解题步骤 2.3.2.9.6.2

从 $360$ 中减去 $45$ 。

$315$

解题步骤 2.3.2.9.6.3

列出新角。

$A = 315$

解题步骤 2.3.2.9.7

$\sin (A)$ 函数的周期为 $360$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $360$ 度数重复出现。

$A = 225 + 360 n, 315 + 360 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.3.2.10

列出所有解。

$A = 45 + 360 n, 135 + 360 n, 225 + 360 n, 315 + 360 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.3.2.11

合并答案。

$A = 45 + 90 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.4

最终解为使 $\sin (2 A) (\tan (225) - 2 \sin^{2} (A)) = 0$ 成立的所有值。

$A = 180 n, 90 + 180 n, 45 + 90 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.5

合并答案。

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解题步骤 2.5.1

将 $180 n$ 和 $90 + 180 n$ 合并为 $90 n$ 。

$A = 90 n, 45 + 90 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.5.2

合并答案。

$A = 45 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3

定义域为使表达式有定义的所有值 $A$ 。

集合符号：

${A | A \neq 45 n}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4

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